在上节中，我们通过分析，顺利完成了“三角形最小路径和”的动态规划题解。在本节中，我们继续看一道相似题型，以求能完全掌握这种“路径和”的问题。话不多说，先看题目：

1. 最小路径和

题目：给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:

[

[1,3,1],

[1,5,1],

[4,2,1]

]

输出: 7

解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

2.图解分析

首先我们分析题目，要找的是 最小路径和，这是个啥意思呢？假设我们有一个 m*n 的矩形 ：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

那从左上角到右下角的最小路径和，我们可以很容易看出就是1-3-1-1-1，这一条路径，结果等于7。

题目明确了，我们继续进行分析。该题与上一道求三角形最小路径和一样，题目明显符合可以从子问题的最优解进行构建，所以我们考虑使用动态规划进行求解。首先，我们定义状态：

dpi : 表示包含第i行j列元素的最小路径和

同样，因为任何一条到达右下角的路径，都会经过[0,0]这个元素。所以我们需要对dp0进行初始化。

dp0 = 0位置所在的元素值

继续分析，根据题目给的条件，如果我们要求dpi，那么它一定是从自己的上方或者左边移动而来。如下图所示：

• 5，只能从3或者1移动而来
• 2，只能从5或者4移动而来
• 4，从1移动而来
• 3，从1移动而来
• 红色位置必须从蓝色位置移动而来

进而我们得到状态转移方程：

dpi = min(dpi-1,dpi) + gridi

同样我们需要考虑两种特殊情况：

• 最上面一行，只能由左边移动而来（1-3-1）
• 最左边一列，只能由上面移动而来（1-1-4）

最后，因为我们的目标是从左上角走到右下角，整个网格的最小路径和其实就是包含右下角元素的最小路径和。即：

设：dp的长度为l

最终结果就是：dpl-1)-1]

综上我们就分析完了，我们总共进行了4步：

• 定义状态
• 总结状态转移方程
• 分析状态转移方程不能满足的特殊情况。
• 得到最终解

3. 代码分析

分析完毕，代码自成：

func minPathSum(grid [][]int) int {
    l := len(grid) if l < 1 { return 0 }
    dp := make([][]int, l) for i, arr := range grid {
        dp[i] = make([]int, len(arr))
    }
    dp[0][0] = grid[0][0] for i := 0; i < l; i++ { for j := 0; j < len(grid[i]); j++ { if i == 0 && j != 0 {
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]
            } else if j == 0 && i != 0 {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]
            } else if i != 0 && j != 0 {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
            }
        }
    } return dp[l-1][len(dp[l-1])-1]
} func min(a, b int) int { if a > b { return b
    } return a
}

同样，运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。有没有什么办法可以压缩内存呢？通过观察我们发现，在我们自左上角到右下角计算各个节点的最小路径和的过程中，我们只需要使用到之前已经累积计算完毕的数据，并且不会再次访问之前的元素数据。绘制成图如下：(大家看这个过程像不像扫雷，其实如果大家研究扫雷外挂的话，就会发现在扫雷的核心算法中，就有一处颇为类似这种分析方法，这里就不深究了)

优化后的代码如下：

func minPathSum(grid [][]int) int {
    l := len(grid) if l < 1 { return 0 } for i := 0; i < l; i++ { for j := 0; j < len(grid[i]); j++ { if i == 0 && j != 0 { grid[i][j] = grid[i][j-1] + grid[i][j]
            } else if j == 0 && i != 0 { grid[i][j] = grid[i-1][j] + grid[i][j]
            } else if i != 0 && j != 0 { grid[i][j] = min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]) + grid[i][j]
            }
        }
    } return grid[l-1][len(grid[l-1])-1]
}

func min(a, b int) int { if a > b { return b
    } return a
}

原文链接：https://segmentfault.com/a/1190000021739367